physis

Dokumentacja do symulacji i wizualizacji oscylatorów sinusoidalnych i zmian częstotliwości (blok nr 9)

Cel skryptu

Skrypt demonstruje zachowanie sygnałów sinusoidalnych w różnych scenariuszach częstotliwościowych — stałej częstotliwości, liniowej modulacji częstotliwości (chirp), skoków częstotliwości z i bez artefaktów cyfrowych. Celem jest pokazanie problemów stabilności i jakości dźwięku w cyfrowych oscylatorach oraz przedstawienie rozwiązania opatentowanego stabilizującego amplitudę podczas nagłych zmian częstotliwości.

---

Spis treści

1. Stała częstotliwość (Wykres 1)
2. Liniowy chirp częstotliwości (Wykres 2)
3. Zoom: Początek i koniec chirpa (2b i 2c)
4. Skok częstotliwości z artefaktem (Wykres 3)
5. Skok bez artefaktu — opatentowane rozwiązanie (Wykres 4)
6. Widmo harmoniczne sygnałów (4c)
7. Porównanie widm globalnych (Wykres 5)
8. Szczegóły implementacyjne oscylatora
9. Podsumowanie
10. Źródła

---

1. Stała częstotliwość (Wykres 1)

• Co jest pokazane:
  Klasyczna sinusoidalna fala o częstotliwości $f = 440 \,\mathrm{Hz}$ (ton a’ z muzyki) generowana na cztery pełne okresy.

• Matematyka:

  \[x(t) = \sin(2\pi f t), \quad f = 440\,\mathrm{Hz}, \quad t \in \left[0, \frac{4}{f}\right]\]

• Cel:
  Pokazanie idealnej, stabilnej sinusoidy bez modulacji.

---

2. Liniowy chirp częstotliwości (Wykres 2)

• Co jest pokazane:
  Sinusoida o częstotliwości zmieniającej się liniowo w czasie od $f_0 = 200\, \mathrm{Hz}$ do $f_1 = 1000\, \mathrm{Hz}$ w czasie $T = 0.015\, \mathrm{s}$.

• Matematyka:

  \[f(t) = f_0 + k t, \quad k = \frac{f_1 - f_0}{T}\] \[\varphi(t) = 2\pi \int_0^t f(\tau)\,d\tau = 2\pi \left(f_0 t + \frac{1}{2} k t^2\right)\] \[x(t) = \sin(\varphi(t))\]

• Cel:
  Pokazanie efektu modulacji częstotliwości (FM) w czasie rzeczywistym.

---

2b i 2c. Zoom na początek i koniec chirpa

• Co jest pokazane:
  Szczegółowy widok fali w zakresie niskich i wysokich częstotliwości.

---

3. Skok częstotliwości ze sztucznym artefaktem (Wykres 3)

• Co jest pokazane:
  Sygnał sinusoidalny, w którym częstotliwość skacze nagle z 330 Hz do 550 Hz, co powoduje niestabilność amplitudy.

• Opis problemu:
  Klasyczne oscylatory cyfrowe nie kompensują zmiany fazy, przez co pojawiają się zakłócenia.

---

4. Skok częstotliwości bez artefaktu — opatentowane rozwiązanie (Wykres 4)

• Co jest pokazane:
  Porównanie dwóch sygnałów:
  • z artefaktem (klasyczny)
  • bez artefaktu (z algorytmem patentowym)

• Opis algorytmu:

  Stabilizacja amplitudy podczas zmiany częstotliwości za pomocą wzmacniania zmiennej stanu i ograniczania amplitudy.

• Algorytm:

  \[\begin{aligned} \mathrm{VAR1}_{n} &= \mathrm{VAR1}_{n-1} - F^2 \cdot \mathrm{VAR2}_{n-1} \\ \mathrm{VAR2}_{n} &= \mathrm{VAR2}_{n-1} \cdot (1 + \varepsilon) + \mathrm{VAR1}_{n} \end{aligned}\] \[\mathrm{VAR1} = \mathrm{clip}(\mathrm{VAR1}, -1, 1)\] \[F = 2 \sin\left(\frac{\pi f}{f_s}\right)\]

---

4c. Widmo harmoniczne sygnałów przy skoku częstotliwości

• Opis:
  Analiza amplitudowa (logarytmiczna) fragmentu sygnału, obliczona za pomocą FFT.

---

5. Porównanie widm globalnych

• Opis:
  Widmo pełnego sygnału potwierdza stabilność wersji patentowej.

---

Szczegóły implementacyjne oscylatora opatentowanego

Oscylator generuje sinusoidy poprzez dwie zmienne stanu i iteracyjne aktualizacje. Zapewnia stabilność amplitudy nawet przy skokowych zmianach częstotliwości.

• $f$ — bieżąca częstotliwość
• $f_s$ — częstotliwość próbkowania
• $\varepsilon \approx 0.001$ — czynnik wzmacniający energię

---

Podsumowanie

• Klasyczne oscylatory mogą powodować rozstrajanie i zanikanie sygnału.
• Chirp pozwala analizować ciągłą modulację $f(t)$.
• Skoki częstotliwości wprowadzają artefakty.
• Opatentowany oscylator cyfrowy eliminuje te artefakty, stabilizując amplitudę.
• Widmo sygnału potwierdza skuteczność metody.

---

Źródła i inspiracje

• Patent US7442869B2 – Digital oscillator with amplitude stabilization